Тригонометрический ряд - определение. Что такое Тригонометрический ряд
Diclib.com
Словарь ChatGPT
Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

  • как употребляется слово
  • частота употребления
  • используется оно чаще в устной или письменной речи
  • варианты перевода слова
  • примеры употребления (несколько фраз с переводом)
  • этимология

Что (кто) такое Тригонометрический ряд - определение

Тригонометрические ряды

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД         
ряд вида , где коэффициенты a0, а1, b1, а2, b2 ... не зависят от переменного х.
Тригонометрический ряд         

функциональный ряд вида

, (1)

то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме

.

Числа an, bn или cn называют коэффициентами Т. р.

Т. р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

Т. р. впервые появляются в работах Л. Эйлера ("Введение в анализ бесконечно малых", 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например:

,

Эйлер указал на связь между степенными рядами и Т. р.: если , где cn действительны, то (где Re обозначает действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Т. р. к исследованию колебания струны (1748); по его мнению, в Т. р. могут быть разложены лишь те функции, которые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении

,

а именно:

,

были впервые указаны А. Клеро (1757), а их вывод посредством почленного интегрирования Т. р. был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для a0 и a1 встречаются еще раньше у Ж. Д'Аламбера (1754).

Т. р. привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50-70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что "произвольная" функция может быть разложена в Т.. р. Однако в то время понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Т. р., было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811); он систематически пользовался Т. р. при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Т. р. по праву носит его имя (см. Фурье ряд). После исследований Фурье Т. р. прочно вошли в математическую физику (С. Пуассон, М. В. Остроградский). Существенный прогресс теории Т. р. в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математического анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие Интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Т. р.; исследования, относящиеся к изображению функций Т. р., привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902-06), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Т. р., придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Т. р. внесли Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов и др.

Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. - Л., 1951; Барин. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1965.

Сходящийся ряд         
  • <1</math>.
  • Площадь под гиперболой <math>y=1/x</math> в интервале <math>(1,a)</math> равна <math>\ln(a)</math>
  • параболы]]
ПОНЯТИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Сумма ряда; Бесконечная сумма; Ряд матриц; Числовые ряды; Критерий абсолютной сходимости суммы числовых рядов; Критерий абсолютной сходимости; Сходимость ряда; Сходящийся ряд; Расходящийся ряд; Суммируемость; Частичная сумма; Частичные суммы; Частичная сумма ряда; Числовой ряд

см. Ряд.

Википедия

Тригонометрический ряд

Тригонометрический ряд — числовой ряд вида:

A 0 2 + n = 1 ( A n cos n x + B n sin n x ) {\displaystyle {\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx})} .

Тригонометрический ряд называется рядом Фурье функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} , если коэффициенты A n {\displaystyle A_{n}} и B n {\displaystyle B_{n}} определяются следующим образом:

A n = 1 π π π f ( x ) cos n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,3\dots )}
B n = 1 π π π f ( x ) sin n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ) {\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )}

где f ( x ) {\displaystyle f(x)}  — это суммируемая на [ π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} функция. .

Не каждый тригонометрический ряд является рядом Фурье.

Типичная задача в теории тригонометрических рядов: найти, при каких значениях переменной x {\displaystyle x} данный тригонометрический ряд сходится.

Что такое ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД - определение